Orta məktəbdə tanış olduğumuz faktorial anlayışı hamımıza tanışdır. Ədədin sağ tərəfində nida işarəsi qoymaqla göstərilən faktorial işarə permutasiya və birləşmə mövzularının əsasını təşkil edir. Bəs niyə bu mövzuda öyrəndiyimiz sıfır faktorial ifadə birə bərabərdir?
Permutasiya müəyyən sayda müxtəlif obyektlərin neçə müxtəlif yolla təşkil oluna biləcəyi ilə maraqlanır. Kombinasiya anlayışı yalnız obyektlərin seçilməsi ilə məşğul olur, onların sırası ilə deyil.
Bu mövzuları öyrənərkən yadda saxladığımız və suallarda istifadə etdiyimiz bir tənlik var: 0!=1. Amma bu bərabərlik bizi həmişə çaşdırır. Gəlin, çaşqınlığa səbəb olan bu ifadənin izahını öyrənək.
Əvvəlcə, onu deməliyik ki, sıfır faktorial tərifinə görə, birə bərabərdir. Yəni, əslində, 0! =1 sübut oluna bilən bərabərlik deyil. Bu ifadə sübuta yetirilməsə də, nə üçün doğru hesab edildiyini izah etmək olar. Bunun üçün faktorial anlayışının tərifini xatırlayaq:
Tərif: 1-dən böyük n natural ədədi üçün 1-dən n-ə qədər olan natural ədədlərin hasilinə n faktorial deyilir və n! kimi göstərilir.
Məsələn, 3! ifadəsində nəticə 1,2 və 3-ün, 4! ifadəsində isə 1,2,3 və 4-ün hasilinə bərabərdir.
Kombinasiya hesablamasında istifadə etdiyimiz düstura görə, “n” çoxluğun elementlərinin ümumi sayı, “r” isə seçilmiş elementlərin sayıdır. Seçilmiş elementlərin hansı ardıcıllıqla seçildiyinin əhəmiyyəti yoxdur.
Məsələn, bizdən “5 nəfərlik komandadan 3 nəfəri neçə müxtəlif yolla seçmək olar?” sualı verildiyində cavabın 5-in 3 birləşməsinə bərabər olduğunu bilirik: C(5,3). Yəni 5 nəfərlik komandadan 3 nəfər 10 müxtəlif üsulla seçilə bilər.
"5 nəfərlik komandadan 5 nəfəri neçə yolla seçmək olar?" sualına cavab vermək üçün yalnız bir variantımız var. Çünki komandada artıq 5 nəfər var və onların hamısını seçməliyik. Kombinasiya hesablamasında düsturdan istifadə etdikdə 0! ifadəsi ilə qarşılaşacağıq.
Bu halda 5-in 1-ə bərabər birləşməsi üçün 0! ifadə vurma əməliyyatına görə, neytral elementə malik olmalıdır və nəticədə, 0! ifadəsi 1-ə bərabərdir.
Bəs 1,2 və ya 1,5 kimi onluq ədədlərin faktorialı hesablana bilərmi?
Faktorialın yuxarıdakı tərifi birdən böyük tam ədədlər üçün etibarlıdır. Deməli, təkcə bu tərifi nəzərə alsaq, onluq ədədlərin faktorialını hesablamaq mümkün deyil. Bununla belə, 1729-cu ildə məşhur riyaziyyatçı Leonhard Eylerin kəşf etdiyi “qamma funksiyası” ilə onluq ədədlərin faktorialları da hesablana bilər. Başqa sözlə, qamma funksiyası faktorial anlayışını kompleks ədədlərə və onluq ədədlərə ümumiləşdirən funksiyadır.
Onluq ədədlərin faktoriallarını hesablamaq istəyirsinizsə, qamma funksiyasından istifadə edə bilərsiniz.
Mənbə: Bilim Genç Tübitak
Tərcümə etdi: Aydan Qasımova
